Enunciato:
Dato un insieme E non vuoto limitato superiormente esso ammette il minimo dei maggioranti.
Dimostrazione:
consideriamo gli insiemi R-K e K , che sono rispettivamente due partizioni di R che comprendono E e K in particolare è l’insieme dei maggioranti di E.
essi sono non vuoti perchè esiste un x appartenente a R-K , di un y appartenente a K e un a appartente a E tale che vale la seguente disequazione
x<a<y per ogni x, y , e a appartenenti ai rispettivi insiemi.
…
Sia allora L l’elemento separatore tra R-K e K ,dimostriamo le seguenti proprietà
1)L appartiene a K
2)L <= ad ogni k appartenenti a K
proviamo la 1) ragioniamo per assurdo
L appartiene a R-K allora esiste un a appartente a ad E tale che L<a . Ma allora ogni numero à tale che L<à<a è appartentente a R-K intersecato K.
ma siccome à<a allora à non è un maggiorante , ma siccome L<à allora è un maggiorante e ciò è un assurdo perchè L è l’elemento separatore.
proviamo la 2) ragioniamo per assurdo
esiste un k appartentne a K tale che k< L allora ogni numero à tale che k<à<L appartiene a R-K intersecato K e si ha il seguente fatto
siccome K<à allora à è un maggiorante , ma siccome à<L allora è un maggiorante di L e ciò è un assurdo perchè L è l’elemento separatore.
e quindi per assurdo esiste il minimo dei maggioranti.
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