sia una funzione f(x) continua in un insieme A compatto , allora f(x) è dotata di minimo e di massimo.
dimostrazione (massimo)
sia M=Sup(f(x))
indichiamo con X(n) una successione tale che
Limite per x->infinito = M
costruiamo la successione massimizzante col seguente procedimento
se M=inf
allora f(x) non è limitata superiormente e come tale esiste per ogni n appartente a N un punto X(n) tale che f(X(n))>n .
se Mallora per la seconda proprietà dell’estremo superiore per ogni n>N esiste un X(n) tale che M-1/k < f(X(n)
Allora essendo A compatto dalla successione X(n) se ne può estrarre una convergente (X(n(k)) )una convergente ad un punto x0 .
si avrà allora Limite k–>inf di f(X(n(k))) = M e Limite k–>inf di f(X(n(k))) = x0
che per il teorema dell’unicità del limite segue M=f(x0) e ciò prova che esiste il massimo e quindi la tesi..
ah e ciò dice che una funzione continua in un compatto è limitata
Ah e compatto vuol dire chiuso e limitato.
uhm..
che noia…
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